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数列核心概念

数列是研究有序数字规律的数学模型，主要包含：

  • 等差数列：aₙ = a₁ + (n-1)d
  • 等比数列：aₙ = a₁·rn-1
  • 递推数列：aₙ₊₁ = f(aₙ)

特殊数列性质：

等差中项：
A = (a+b)/2
等比中项：
G = ±√(ab)

周期数列：
aₙ₊T = aₙ
(T为最小正周期)

重要公式

等差数列求和：
Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = n[2a₁+(n-1)d]/2
等比数列求和：
Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r) (r≠1)
自然数平方和：
Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

定理与性质

单调性判定：
aₙ₊₁ - aₙ >0 递增
aₙ₊₁/aₙ >1 递增（正项）
裂项求和：
1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
数学归纳法：
验证n=1成立，假设n=k成立
证明n=k+1成立